Statistika
1.1. Ukuran Pemusatan Data
§ Rataan Hitung (Mean)
Contoh: Tentukan mean dari data berikut:
|
Data
|
Frekuensi (fi)
|
Titik tengah (xi)
|
fi . xi
|
|
1 – 3
|
4
|
2
|
8
|
|
4 – 6
|
7
|
5
|
35
|
|
7 – 9
|
8
|
8
|
64
|
|
10 – 12
|
3
|
11
|
33
|
|
13 – 15
|
5
|
14
|
70
|
| |
27
| |
210
|
Jadi rata-rata (mean) = 210:27 = 7,77
§ Median
|
Data
|
Frekuensi (fi)
|
|
1 – 3
|
4
|
|
4 – 6
|
7
|
|
7 – 9
|
8
|
|
10 – 12
|
3
|
|
13 – 15
|
5
|
| |
27
|
à kelas median
Tb = 6,5; n=27; f=8; Sf sebelum = 11; c=3
Tb = 6,5; n=27; f=8; Sf sebelum = 11; c=3
Me = Tb + (1/2 x n - Sfsebelum) x c
fmedian
Me = 6,5 + (2,5/8) x 3
Me = 6,5 + 0,94
Me = 7,44
§ Modus
|
Data
|
Frekuensi (fi)
|
|
1 – 3
|
4
|
|
4 – 6
|
7
|
|
7 – 9
|
8
|
|
10 – 12
|
3
|
|
13 – 15
|
5
|
| |
27
|
à kelas modus
Tb=6,5; f1=1; f2=5; c=3
Mo = Tb + (f1/f1+f2) x c
Mo = 6,5 + 0,49
Mo = 6,99
1.2. Ukuran Penyebaran Data
§ Range
Contoh: Tentukan range dari: 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10
Jawab:
R = 10 – 4 =6
§ Simpangan Kuartil (Qd)
Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10
Jawab: n=11
Q1 = n+1/4 = 3 (Data: 4)
Q3 = 3(n+1)/4 = 9 (Data: 10)
Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3
§ Simpangan Rata-rata (SR)
Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12
Jawab: rata-rata = 7
SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0
7
§ Simpangan Baku (S)
Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5
Jawab: rata-rata = 3
S = √(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2 = 1
10
2. Peluang
2.1. Faktorial
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
2.2. Permutasi
Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
2.3. Kombinasi
Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba?
Jawab:
10C2 = 10! = 45
2! x 8!
2.4. Peluang
Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?
Jawab:
P(A) = n(A) = 3 = ½
N(S) 6
2.5. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas
Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.
Jawab:
Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)
P(A) = 3/36 = 1/12
Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)
P(B) = 4/36 = 1/9
Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = 3/36 + 4/36 = 7/36
2.6. Peluang Kejadian yang Saling Bebas
Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!
P(A) = P(2) = 1/6
P(B) = P(6) = 1/6
P(A Ç B) = P(A) x P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36
3. Persamaan Lingkaran
3.1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Rumus: x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran yang berjari-jari 4 cm dan berpusat di (0,0) adalah:
x2 + y2 = 16.
3.2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)
Rumus: (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,6) dan berjari-jari 4.
Jawab: (x-5)2 + (y-6)2 = 16
3.3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat lingkaran = (- ½ A, - ½ B)
Jari-jari = √(- ½ A)2 + (- ½ B)2 – C
Contoh:
Diketahui persamaan lingkaran: x2 + y2 + 2x + 4y – 6 = 0, tentukan pusat dan
jari-jari lingkaran.
Jawab:
Pusat Lingkaran= (- ½ .2, - ½ .4) = (-1, -2)
Jari-jari= Ö1 + 4 – (-6) = Ö11 = 3,33
3.4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x + 4y – 8 = 0 jika titik singgungnya (3,6)
Jawab:
x1.x + y1.y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0
3x + 6y + 1.(x + 3) + 2.(y + 6) – 8 = 0
3x + 6y + x + 3 + 2y + 12 -8 = 0
4x + 8y + 7 = 0
4. Trigonometri
Trigonometri adalah nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Carteris atau pada segitiga siku-siku.
Sudut istimewa:
|
a
|
00
|
300
|
450
|
600
|
900
|
1200
|
1350
|
1500
|
1800
|
|
Sin a
|
0
|
½
|
½ √2
|
½ √3
|
1
|
½ √3
|
½ √2
|
½
|
0
|
|
cos a
|
1
|
½ √3
|
½ √2
|
½
|
0
|
-½
|
-½ √2
|
-½ √3
|
-1
|
|
tan a
|
0
|
1/3 √3
|
1
|
√3
|
∞
|
-√3
|
-1
|
-1/3 √3
|
0
|
|
a
|
2100
|
2250
|
2400
|
2700
|
3000
|
3150
|
3300
|
360
|
|
sin a
|
-½
|
-½ √2
|
-½ √3
|
-1
|
-½ √3
|
-½ √2
|
-½
|
0
|
|
cos a
|
-½ √3
|
-½ √2
|
-½
|
0
|
½
|
½ √2
|
½ √3
|
1
|
|
tan a
|
1/3 √3
|
1
|
√3
|
∞
|
-√3
|
-1
|
-1/3 √3
|
0
|
Rumus-rumus identitas Trigonometri:
tan a = sin a
cos a
sin2a + cos2a = 1
cot a = cos a
sin a
sec a = 1
cosa
tan2 a + 1 = sec2a
cot a + 1 = cosec2a
cosec a = 1
sin a
Rumus Penjumlahan pada Trigonometri:
sin a + sin b = 2 sin ½ (a + b) cos ½ (a - b)
sin a - sin b = 2 cos ½ (a + b) sin ½ (a - b)
cos a + cos b = 2 cos ½ (a + b) cos ½ (a - b)
cos a - cos b = -2 sin ½ (a + b) sin ½ (a - b)
Rumus Perkalian pada Trigonometri:
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
-2 sin a cos b = cos (a + b) - cos (a - b)
5. Suku Banyak
5.1. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Suku Banyak
Contoh: diketahui f(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 dan g(x) = x2 + 3x – 3.
Jawab:
f(x) + g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 + (x2 + 3x – 3) = x3 + 4x2 + 8x + 4
f(x) - g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 – (x2 + 3x – 3) = x2 + 2x2 + 2x + 10
f(x) . g(x) = x3 + 3x2 + 5x + 7 . (x2 + 3x – 3) = x5 + 3x4 – 3x3 + 3x4 9x3 – 9x2 +
5x3 + 15x2 – 15x + 7x2 + 21x – 21 = x5 + 6x4 + 11x3 + 13x2 + 6x - 21
5.2. Teorema Sisa
Contoh: Tentukan sisa dari pembagian x4 – 4x3 + 2x2 + 6x – 6 dengan (x-3).
Jawab:
x-3 à x=3; dan k=3
S = f(k) = k4 – 4k3 + 2k2 + 6k – 6
S = f(3) = 34 – 4(3)3 + 2(3)2 + 6.3 – 6
= 81 – 108 + 18 + 18 – 6
= 3
5.3. Teorema Faktor
Contoh: Tentukan sisa dari pembagian 4x3 + 2x2 + 6x – 6 dengan (x-3) (x+1).
Jawab: x1 = 3; x2 = -1
Untuk x1 = 3, maka: 4(3)3 + 2(3)2 + 6(3) – 6 = 108 + 18 + 18 – 6 = 138
Untuk x2 = -1, maka: 4(-1)3 + 2(-1)2 + 6(-1) – 6 = -4 + 2 – 6 – 6 = -14
S(x) = (x-x1) . f(x2) + (x-x2) . f(x1)
(x2-x1) (x1-x2)
= (x-3) . -14 + (x+1) . 138
-4 4
= 139x +121
4
6. Fungsi, Komposisi dan Fungsi Invers
6.1. Fungsi
Contoh: Diketahui f:R à R dengan f(x) = x2 + 2x + 2
Tentukan: f(5) dan f(x+1)
Jawab:
f(5) = 25 + 10 + 2 = 37
f(x+1) = (x+1)2 + 2(x+1) + 2 = x2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 2 = x2 + 4x + 5
6.2. Komposisi
Contoh: Fungsi f:R à R dan g:R à R dengan f(x) = x2 + 2 dan g(x) = x + 3.
Tentukan g.f(x) dan f.g(x).
g.f(x) = g (f(x)) = g (x2 + 2) = (x2 + 2) + 3 = x2 + 5
f.g(x) = f (g(x)) = f (x + 3) = (x + 3)2 + 2 = x2 + 6x + 11
6.3. Fungsi Invers
Jika y = f(x) maka x = f -1 (y)
|
Fungsi awal
|
Fungsi Invers
|
|
f(x) = ax + b
|
f -1 (x) = x – b
a
|
|
f(x) = ax + b
cx + d
|
f -1 (x) = -dx + b
cx – a
|
|
f(x) = ax2 + bx + c
|
f -1 (x) = -b + Öb2 – 4a (c-x)
2a
|
|
f(x) = acx
|
f -1 (x) = 1/c. alog x
|
|
f(x) = alog cx
|
f -1 (x) = 1/c. ax
|
7. Limit
7.1. Limit Fungsi Aljabar
Contoh: lim 2x2 – 2x = 2x (x -1) = 2x = 2.1 = 2
x®1 x – 1 (x – 1)
7.2. Limit Fungsi Trigonometri
|
lim sin x = 1
x®1 x
|
|
lim x = 1
x®1 sin x
|
|
lim x = 1
x®1 tan x
|
|
lim tan x = 1
x®1 x
|
|
lim sin ax = a
x®0 bx b
|
|
lim ax = a
x®0 sin bx b
|
|
lim sin ax = a
x®0 sin bx b
|
|
lim tan ax = a
x®0 bx b
|
|
lim sin ax = a
x®0 tan bx b
|
|
lim tan ax = a
x®0 tan bx b
|
|
lim tan ax = a
x®0 sin bx b
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar